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江苏省常州市2009~2010学年度第一学期期末联考高三数学试题_图文

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江苏省常州市 2009~2010 学年度第一学期期末联考 ~
高三数学试题 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需写出解答过程.请把答案直接填写在 答题卡相应位置上. 1.已知复数 z =

m+i , ( m ∈ R, i是虚数单位 ) 是纯虚数,则 m 的值是 1+ i
▲ .



.

2.命题“任意偶数是 2 的倍数”的否定是

3.用一组样本数据 8, x ,10,11,9 来估计总体的标准差,若该组样本数据的平均数为 10,则总 体标准差 s = 4.已知双曲线 ▲ . ▲ .

x2 y2 4 2 = 1( a > 0, b > 0 ) 的渐近线过点 P 1, ,则该双曲线的离心率为 2 a b 3

5.已知函数 f ( x ) = 2sin x +



π

π , x ∈ 0, ,则 f ( x ) 的值域是 3 3



.

6.已知等比数列 {an } 的公比 q > 0 ,若 a2 = 3, a2 + a3 + a4 = 21 ,则 a3 + a4 + a5 = ▲ .

7.一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色,若随机投掷该四面体两次,则两次底 面颜色相同的概率是 ▲ .
2

y8.已知 m 是实数,函数 f ( x ) = x ▲ .

( x m ) ,若 f ′ ( 1) = 1 ,则函数 f ( x ) 的单调减区间是

9.给出下列命题: ①若线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 上的点都在平面 α 内; ②若直线 a 在平面 α 外,则直线 a 与平面 α 没有公共点; ③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; ④设 a、b、c 是三条不同的在线,若 a ⊥ b, a ⊥ c, 则 b ∥ c . 上面命题中,假命题的序号是 10.已知锐角 α + ▲ .(写出所有假命题的序号)



π

的终边经过点 P 1, 4 3 ,则 cos α = 3

(

)



.

11.设 a > 0, b > 0, 4a + b = ab ,则在以 ( a, b ) 为圆心,a + b 为半径的圆中,面积最小的圆的标准方 程是 ▲ .

12.已知集合 A = {0,1} , B = a , 2a ,其中 a ∈ R ,我们把集合 x x = x1 + x2 , x1 ∈ A, x2 ∈ B ,记作
2

{

}

{

}

A × B ,若集合 A × B 中的最大元素是 2a + 1 ,则 a 的取值范围是
y13.观察下列等式:



.

32 + 4 2 = 52 , 10 2 + 112 + 12 2 = 132 + 14 2 , 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 27 2 362 + 37 2 + 382 + 39 2 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
由此得到第 n n ∈ N * 个等式为



(

)



.

14.设 m, n ∈ Z ,已知函数 f ( x ) = log 2 x + 4 的定义域是 [ m, n ] ,值域是 [ 0, 2] ,若关于 x 的方 程2
1 x

(

)

+ m + 1 = 0 有唯一的实数解,则 m + n =



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) △ ABC 中 , 三 个 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 设 复 数

z = sin A ( sin A sin C ) + ( sin 2 B sin 2 C ) i ,且 z 在复平面内所对应的点在直线 y = x 上.
⑴求角 B 的大小; ⑵若 sin B = cos A sin C ,△ ABC 的外接圆的面积为 4π ,求△ ABC 的面积. 16. (本小题满分 14 分) 如图,平面 PAC ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , PE ∥ CB , M , N 分别是 AE , PA 的中点 ⑴求证: MN ∥平面 ABC ; ⑵求证:平面 CMN ⊥ 平面 PAC .

P

E

N C A

M B

y17. (本小题满分 14 分) 如图,点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点,动点 M 在圆周上,将纸片折起,使点 M 与点 A 重 合 , 设 折 痕 m 交 线 段 CM 于 点 N . 现 将 圆 形 纸 片 放 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 设 圆 C :

( x + 1)

2

+ y 2 = 4a 2 ( a > 1) , A (1, 0 ) ,记点 N 的轨迹为曲线 E .

⑴证明曲线 E 是椭圆,并写出当 a = 2 时该椭圆的标准方程; ⑵设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B ,点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q ,若椭圆 E 的离心率

1 3 e∈ , ,求点 Q 的纵坐标的取值范围. 2 2

y M N C

o A

x

m

y18. (本小题满分 16 分) 工厂生产某种零件,每天需要固定成本 100 元,每生产 1 件,还需再投入资金 2 元,若每天生产的 零件能全部售出,每件的销售收入 P ( x ) (元)与当天生产的件数之间有以下关系:

1 2 83 3 x , 0 < x ≤ 10 P ( x) = 520 1331 , x > 10 x x3
设当天利润为 y 元. ⑴写出 y 关于 x 的函数关系式; ⑵要使当天利润最大,当天应生产多少零件? (注:利润等于销售收入减去总成本)

19. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是公差 d 不为零的正项等差数列,Sn 为其前 n 项的和, 满足 5S3 6 S5 = 105 , a2 ,a5 ,a14 成等比数列. ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵设 c ∈ N , c ≥ 2, 令 bn =

an 1 , T n 为数列 {bn } 的前 n 项的和,若 T 2c 1

2c

≤ 6 ,求 c 的值.

20. (本小题满分 16 分) 设 m, t 为实数,函数 f ( x ) = ⑴求实数 m 的值; ⑵若对于任意 x ∈ [ 1, 2] ,总存在 t ,使得不等式 f ( x ) ≤ 2t 成立,求实数 t 的取值范围; ⑶设 方程 x + 2tx 1 = 0 的两个实 数根为 a、b ( a < b ) , 若对于任意 x ∈ [ a, b ] , 总存在 x1 ,
2

mx + t , f ( x ) 的图象在点 M ( 0, f ( 0 ) ) 处的切线的斜率为 1. x2 + 1

x2 ∈ [ a, b ] 使得 f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) 恒成立,记 g ( t ) = f ( x2 ) f ( x1 ) ,当 g ( t ) = 5 时,
求实数 t 的值.

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