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人教A版高中数学必修五教案 第1章 解三角形 7.备课资料(1.2.3 解决有关测量角度的问题)

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备课资料 1.半角定理 在△ ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系

tan A ? 1 ( p ? a)(p ? b)(p ? c)

2 p?a

p

tan B ? 1 ( p ? a)( p ? b)( p ? c)

2 p?b

p

tan C ? 1 ( p ? a)( p ? b)( p ? c)

2 p?c

p

其中 p= 1 (a+b+c 2

证明: tan

A

?

sin

A 2

2 cos A

2

因为 sin A >0,cos A >0,

2

2

所以

sin A ? 1? cos A ? 1 (1? b2 ? c2 ? a2 ) ? a2 ? (b ? c)2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)

2

2

2

2bc

4bc

4bc

因为 p = 1 (a+b+c 2
所以 a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c

所以 sin A ? ( p ? b)( p ? c)

2

bc



cos A ? 1? cosA ? 1 (1? b2 ? c2 ? a2 )

2

2

2

2bc

(b ? c)2 ? a2 ? (b ? c ? a)(b ? c ? a) ? p( p ? a)

4bc

4bc

bc





tan

A 2

sin cos

A
2 A

?

2

( p ? b)(p ? ?c)

bc

?

p( p ? a)

bc

( p ? b)(p ? c) ? 1 p( p ? a) p ? a

( p ? a)(p ? b)(p ? c)
.
p

所以 tan A ? 1 ( p ? a)(p ? b)( p ? c)

2 p?a

p

同理,可得 tan B ? 1 ( p ? a)( p ? b)( p ? c)

2 p?b

p

tan C ? 1 ? ( p ? a)( p ? b)( p ? c) .从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三

2 p?c

p

条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式

sin A ? ( p ? b)( p ? c) ,cos A ? p( p ? a)

2

bc

2

bc

同理可得

sin B ? ( p ? a)( p ? c) ,sin C ? ( p ? a)( p ? b) ,cos B ? p( p ? b) cos C ? p( p ? c) .

2

ac

2

ab

2

ac

2

ab

2.用三角形的三边表示它的内角*分线 设在△ ABC 中(如右图),已知三边 a、b、c,如果三个角 A、B 和 C 的*分线分别是 tA、tB 和 tC, 那么,用已知边表示三条内角*分线的公式是:

ta

?

2 b?

c

bcp( p ? a)

tb

?

a

2 ?

c

acp( p ? b)

tc

?

a

2 ?b

abp( p ? c)

证明:设 AD 是角 A 的*分线,并且 BD=x,DC=y,那么,在△ ADC 中,由余弦定理,得

tA 2=b2+y2-2bycosC,①

根据三角形内角*分线的性质,得 c ? x by

所以 c ? b ? x ? y by
因为 x+y=a
所以 c ? b ? a by

所以 y ? ab .② b?c

将②代入①,得 ta 2

?

b2

?

( ab )2 b?c

?

2b( ab )cosC b?c

=

(b

b2 ? c)2

[b 2

?

c2

?

2bc

?

a2

?

2a(b

?

c) cos C ]

因为 cosC ? a2 ? b2 ? c2 2bc

所以 ta 2

?

(b

b2 ? c)2

[a2

? b2

?

c2

?

2bc

?

2a(b

?

c) ?

a2

?b2 ? 2ab

c2

]

=

(b

bc ? c)2

(b 2

?

c2

?

2bc

?

a2

)

?

(b

bc ? c)2

(a

?

b

?

c)(b

?

c

?

a)

=

(b

bc ? c)2

? 2 p ? 2( p

?

a)

?

(b

4 ? c)2

? bcp( p

?

a),

所以 ta

?

b

2 ?c

bcp( p ? a)

同理,可得 tb

?

a

2 ?c

acp( p

? b),tc

?

a

2 ?b

abp( p ? c)

这就是已知三边求三角形内角*分线的公式.

3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径

设在△ ABC 中,已知三边 a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是

R?

abc

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

证明: 因为 R ? a , S ? 1 bcsin A 2sin A 2
所以 sin A ? 2S bc

所以 R ? a ? abc ?

abc

.

2sin A 4S p( p ? a)( p ? b)( p ? c)




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